然而 , 这些问题都是计算数学领域的经典问题?。”暇? ,函数逼近、概率分布的逼近与采样,以及微分方程和差分方程的数值求解,都是计算数学领域极其经典的问题 。那么,这些问题在机器学习的语境下 , 到底和在经典的计算数学里有什么区别呢?答案便是:
维度(dimensionality)
例如,在图像识别问题中,输入的维度为
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。而对于经典的数值逼近方法,对于
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维问题,含
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个参数的模型的逼近误差
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. 换言之 , 如果想将误差缩小10倍,参数个数需要增加
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. 当维数
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增加时,计算代价呈指数级增长 。这种现象通常被称为:
维度灾难(curse of dimensionality)
所有的经典算法,例如多项式逼近、小波逼近,都饱受维度灾难之害 。很明显,机器学习的成功告诉我们,在高维问题中,深度神经网络的表现比经典算法好很多 。然而,这种“成功”是怎么做到的呢?为什么在高维问题中,其他方法都不行,但深度神经网络取得了前所未有的成功呢?
从数学出发,理解机器学习的“黑魔法”:监督学习的数学理论
2.1 记号与设定
神经网络是一类特殊的函数 。比如,两层神经网络是:
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其中有两组参数,
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和
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。
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是激活函数,可以是:
·
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,ReLU函数;
·
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,Sigmoid函数 。
而神经网络的基本组成部分即为:线性变换与一维非线性变换 。深度神经网络,一般就是如下结构的复合:
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为了简便,我们在此省略掉所有的bias项
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。
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是权重矩阵,激活函数
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作用在每一个分量上 。
我们将要在训练集S上逼近目标函数
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不妨假设
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的定义域为
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。令
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