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北京时间2022年7月8日晚上22:30 ，鄂维南院士在2022年的国际数学家大会上作一小时大会报告(plenary talk) 。今天我们带来鄂老师演讲内容的分享。鄂老师首先分享了他对机器学习数学本质的理解（函数逼近、概率分布的逼近与采样、Bellman方程的求解）；然后介绍了机器学习模型的逼近误差、泛化性质以及训练等方面的数学理论；最后介绍如何利用机器学习来求解困难的科学计算和科学问题，即AI for science 。文章作者Hertz 。

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机器学习问题的数学本质
众所周知，机器学习的发展，已经彻底改变了人们对人工智能的认识。机器学习有很多令人叹为观止的成就，例如：
· 比人类更准确地识别图片：利用一组有标记的图片，机器学习算法可以准确地识别图片的类别：

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Cifar-10 问题：把图片分成十个类别
来源：https://www.cs.toronto.edu/~kriz/cifar.html
· Alphago下围棋打败人类：完全由机器学习实现下围棋的算法：

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参考：https://www.bbc.com/news/technology-35761246
· 产生人脸图片，达到以假乱真的效果：

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参考：https://arxiv.org/pdf/1710.10196v3.pdf
机器学习还有很多其他的应用。在日常生活中，人们甚至常常使用了机器学习所提供的服务而不自知，例如：我们的邮件系统里的垃圾邮件过滤、我们的车和手机里的语音识别、我们手机里的指纹解锁……
所有这些了不起的成就，本质上，却是成功求解了一些经典的数学问题。
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对于图像分类问题，我们感兴趣的其实是函数

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：

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: 图像→类别
函数

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把图像映射到该图像所属的类别。我们知道

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在训练集上的取值，想由此找到对函数

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的一个足够好的逼近。
一般而言，监督学习(supervised learning)问题，本质都是想基于一个有限的训练集S，给出目标函数的一个高效逼近。
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对于人脸生成问题，其本质是逼近并采样一个未知的概率分布。在这一问题中，“人脸”是随机变量，而我们不知道它的概率分布。然而，我们有“人脸”的样本：数量巨大的人脸照片。我们便利用这些样本，近似得到“人脸”的概率分布，并由此产生新的样本（即生成人脸）。
一般而言，无监督学习本质就是利用有限样本，逼近并采样问题背后未知的概率分布。
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对于下围棋的Alphago来说，如果给定了对手的策略，围棋的动力学是一个动态规划问题的解。其最优策略满足Bellman方程。因而Alphago的本质便是求解Bellman方程。
一般而言，强化学习本质上就是求解马尔可夫过程的最优策略。