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双曲线的几何性质

小知识

【双曲线的几何性质】双曲线(Hyperbola)是指与平面上两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹,也可以定义为到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹.双曲线有两个分支. 在定义1中提到的两给定点称为该双曲线的焦点,定义2中提到的一给定点也是双曲线的焦点.双曲线有两个焦点. 在定义2中提到的给定直线称为该双曲线的准线. 在定义2中提到的到给定点与给定直线的距离之比,称为该双曲线的离心率. 双曲线有两个焦点,两条准线.（注意：尽管定义2中只提到了一个焦点和一条准线.但是给定同侧的一个焦点,一条准线以及离心率可以根据定义2同时得到双曲线的两支,而两侧的焦点,准线和相同离心率得到的双曲线是相同的.） 双曲线与两焦点连线的交点,称为双曲线的顶点. 双曲线有两条渐近线.

双曲线的几何性质

文章插图
1、轨迹上一点的取值范围：x≥a,x≤-a（焦点在x轴上）或者y≥a,y≤-a（焦点在y轴上） 。
 2、对称性：关于坐标轴和原点对称 。
 3、顶点：A(-a,0)， A＇(a,0) 。 同时 AA＇叫做双曲线的实轴且∣AA＇│=2a.
 B(0,-b)， B＇(0,b) 。 同时 BB＇叫做双曲线的虚轴且│BB＇│=2b.
 4、渐近线：
 焦点在x轴：y=±(b/a)x.
 焦点在y轴：y=±(a/b)x. 圆锥曲线ρ=ep/1-ecosθ当e>1时， 表示双曲线 。 其中p为焦点到准线距离， θ为弦与X轴夹角 
 令1-ecosθ=0可以求出θ， 这个就是渐近线的倾角 。 θ=arccos（1/e） 
 令θ=0， 得出ρ=ep/1-e, x=ρcosθ=ep/1-e 
 令θ=PI， 得出ρ=ep/1 e ,x=ρcosθ=-ep/1 e 
 这两个x是双曲线定点的横坐标 。  
 求出他们的中点的横坐标（双曲线中心横坐标） 
 x=【（ep/1-e） （-ep/1 e）】/2 
 （注意化简一下） 
 直线ρcosθ=【（ep/1-e） （-ep/1 e）】/2 
 是双曲线一条对称轴， 注意是不与曲线相交的对称轴 。  
 将这条直线顺时针旋转PI/2-arccos（1/e）角度后就得到渐近线方程， 设旋转后的角度是θ’ 
 则θ’=θ-【PI/2-arccos（1/e）】 
 则θ=θ’ 【PI/2-arccos（1/e）】 
 带入上式： 
 ρcos{θ’ 【PI/2-arccos（1/e）】}=【（ep/1-e） （-ep/1 e）】/2 
 即：ρsin【arccos（1/e）-θ’】=【（ep/1-e） （-ep/1 e）】/2 
 现在可以用θ取代式中的θ’了 
 得到方程：ρsin【arccos（1/e）-θ】=【（ep/1-e） （-ep/1 e）】/2
 5、离心率：
 第一定义： e=c/a 且e∈（1， ∞).
 第二定义：双曲线上的一点P到定点F的距离│PF│ 与 点P到定直线(相应准线)的距离d 的比等于双曲线的离心率e.
 6、双曲线焦半径公式（圆锥曲线上任意一点P(x,y)到焦点距离）
 右焦半径：r=│ex-a│
 左焦半径：r=│ex a│
 7、等轴双曲线 
 一双曲线的实轴与虚轴长相等 即：2a=2b 且 e=√2
 8、共轭双曲线 
 双曲线S＇的实轴是双曲线S的虚轴 且 双曲线S＇的虚轴是双曲线S的实轴时， 称双曲线S＇与双曲线S为共轭双曲线 。
 几何表达：S：(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 S＇：(y^2/b^2)-(x^2/a^2)=1 
 特点：（1）共渐近线 
 （2）焦距相等
 （3）两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于1

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