这些年来e的近似值的位数，维基百科 。在我们试图理解它的存在时，会产生更多的问题 。
第三个，泰勒级数对于上面的e，泰勒级数为：
e的一次方等于多少：
我们知道这个级数是收敛的，收敛于超越常数e 。另一个类似的级数是调和级数：
调和级数你可能会觉得这个级数也是收敛的 。前一百万项的总和大约是14.8 。但是如果我们假设调和级数收敛，收敛于S：
那么：
但：
因此：
这是不可能的 。因此，我们知道这个级数是发散的 。然而，在1914年，A.J.肯普纳（A.J. Kempner）发表了一篇题为“一个奇怪的收敛级数”的论文，证明了调和级数：
稍微修改一下，实际上是收敛的 。即去掉分母中包含“9”的值的调和级数 。起初，肯普纳认为这个级数的上限应该在80以下 。从那时起，进一步研究表明该序列收敛到略低于23的值，约为22.92067 。当你第一次思考它的时候，这是非常奇怪的 。
从发散的级数中删除一些元素，最终会使级数收敛 。但是，大多数三位数的分母值都包含“9”，这使得这个级数的收敛速度还不够快 。但这显然引出了一个问题，你能从调和级数中删除的最小元素的数量是多少才能使它收敛？
第四个，拉马努詹求和如果你用计算器，开始加1 + 2 + 3 + 4 + 5，一直加下去，你会认为你会得到一个非常大的正数 。
但让我告诉你一些完全违背直觉的事情：
这意味着，如果你把所有自然数相加，你会得到：
首先，我们需要一些铺垫：
让我们从第三个求和N?（N_2，下标可能不显示）开始 。如果1和-1个数的和是偶数，从对称性得知N?=0；如果是奇数，结果就是1，然后我们取平均值，是1/2 。
现在让我们来看看我们的N_1，也就是上面的第二个求和 。具体来说，我们把和乘以2：
正如你所看到的，如果我们把上面的计算式上下一一相加，我们得到：
我们已经知道N_2= 1/2 ，所以N_1= 1/4,所以现在我们基本上有了所有我们需要的东西来实现这个数学奇迹 。
让我们看看第一个求和N，从N_1中减去它，得到：
我们已经知道N_1=1/4，所以：
所有自然数的和是-1/12！（当然，这是荒谬的），欢迎留言指出这个推导过程的问题所在 。
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