如果所有这些都有点多，就把这看作必须满足的一个额外的“数字条件” 。因为每个子簇都是霍奇类，我们知道霍奇猜想的简单表述版本是不正确的，因为我们只取一个非零的非霍奇类 。
霍奇猜想的正确版本是：每一个霍奇类都是代数的 。换句话说，我们可以选任何一个霍奇的类，不管它有多怪异，我们都可以把它变形成一个子簇 。
一些进展事实证明霍奇猜想在低维空间中是正确的 。这是由Lefschetz在1924年证明的，而霍奇猜想是1950年提出来的 。在过去的几年里，也有一些其他的维度被证明，但都是在非常强大的额外假设下 。
你可以想象有人做了一个天真的猜想，然后有人指出实际上子簇都是霍奇类 。然后有人说，我想知道是不是所有的霍奇类都是代数的 。
【最难理解的世界数学难题 庞加莱猜想证明过程】然后在1961年，Atiyah和Hirzebruch证明了积分版本是错误的 。于是人们说，我想知道我们是否可以用Q代替Z，如果这是真的 。这就是我们今天所处的处境 。
与黎曼假说不同，霍奇猜想似乎是一项正在进行中的工作，在经过几次改进后陷入了困境 。我们甚至不知道当X是4维且由一个多项式方程给出时它是否成立 。
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