最难理解的世界数学难题庞加莱猜想证明过程( 二 ) _云知道

回想一下，线性代数中的技巧包括在思考“图像”（比如零空间、值域空间、平面的交点）和实际计算的“代数”之间来回转换。
线性代数在某种意义上是“完全解决了”，但如果你让你的方程中有不同指数，那它们就是多项式。这就是代数几何：在多项式零集的几何和处理这些方程的代数运算之间进行转换。
在本文中，一个光滑代数簇（简化为“簇”）是一个几何空间X，由多项式的零集给出，得到的空间是"光滑的"，就像你们在微积分中学到的那样。
二维球面由二次方程给出。圆环面是由三次方程给出的椭圆曲线。希望你们理解了这个奇怪的术语。椭圆曲线是一个二维环面。
因为我们处理的是复数，所以“实”维数总是偶数。如果你考虑复平面，它看起来像：

但它只是? 。代数几何学家用复维来称呼事物，所以一维曲线有2个实维，而二维曲面有4个实维。
我们需要的最后一个术语是子簇。你们可以想象，X的一个子簇是由多项式方程零点集给出的一个子集，因此也是一个簇。
这是使霍奇猜想有趣的关键思想：从拓扑学家的观点来看，实际上没有什么多样性。
作为多项式集合的零集是非常有限的。拓扑上的东西可能会很疯狂，很奇怪且很晦涩。如果你从X的一个子簇开始，然后像我们上面做的那样对它进行任意变形，你最终得到的将不再是一个子簇。
另外，请注意，一个子簇是通过取多项式零点集并与X相交而形成的。这本质上是一个“全局”的东西。拓扑上变形的形状在某种意义上是一个“局部”的东西。
所以如果这两个不同的数学分支之间有很好的联系，我们应该感到惊讶。
霍奇猜想在这一点上，我们可以给出的霍奇猜想最简单的表述是：
在

中，给定某个环[A]，是否存在一个k维子簇Y来表示[A]？我们称这样的子簇为[A]的代数代表。
让我们把它解剖一下。回想一下，A可能是奇形怪状的，它是一种基本的拓扑结构，绕着x中的一个孔。
有没有办法把A“变形”成一个由多项式方程定义的“漂亮”形状？
如果你认为答案显然是肯定的，那么你可能没有领会到作为一个子簇是多么强大和受限。如果你认为答案显然是否定的，那么你可能无法理解在不改变A的类的情况下，我们可以做多少变形。
记住，我们在复数上面，所以每个子簇都是偶维的。例如，这意味着

中没有代数代表。
但即使我们把自己限制在维度上，还有一个技术条件会带来问题。
如果你查霍奇猜想，标准的表述方式涉及上同调而不是同调，所以只有上标，没有下标。事实证明这些只是对偶概念。如果X有（实）维度n，那么我们可以把H?(X，?)中的[A]看作是H???(X, ?)中的一个类。
这样做的原因之一是上同调可以用微分形式来解释。这意味着我们可以用积分来进行数值计算。
在我们对X的假设下，上同调有一个很好的分解，叫做霍奇分解。它甚至使用调和函数。以4为例：
H?(X, ?)可以分解为(0,4)(1,3)(2,2)(3,1)和(4,0) 。中间部分由称为霍奇类的形式组成。
一个使用一些技术机制的相当简单的计算表明，任何子簇[Y]必须落在中间的那块上。换句话说，每个子簇都是一个霍奇类。
例如，如果X是6维的（复数意义上的），而Y是二维的子簇，则[Y]属于 H?(X, ?)的(4,4)部分。