由此可见，牛顿迭代法的局部收敛性较强，所以只有初值充分地接近，才能确保所迭代序列的收敛性 。为了放宽对局部收敛性的限制，必须再增加能够使该序列收敛的充分条件，
上式可以化为以下几种情况：
其中 ① 保证了零点的存在性；② 保证了函数的单调性，同时也保证了在 区间[ a，b ] 内有唯一的零点；③ 保证函数的凹凸不会改变 ， ④ 与 ③ 保证了每一次的迭代生成的值都在区间 [a，b] 之中；反映到图像上如下：
若选取初始值不满足上述条件时，会出现越迭代越远甚至死循环的情况，比如下图这些情况：
介绍完牛顿法的性质和原理 ， 那么我们能够用它来做些什么呢？即前面说到可以用来进行方程的求解 。假设给定正数 a ，建立如下关系式：
则 f(x) = 0 的正数解就是其算术平方根 。那么用牛顿迭代公式可得：
由于当 x ＞ 0 时，f ' (x) = 2x ＞ 0，f '' (x) = 2 ＞ 0 ， 故由收敛定理可知，对于任意满足条件 x? > √a 的初始近似值，由选代公式所产生的序列必定收敛于 √a。
下面我们使用程序(TypeScript)来进行开平方运算：
对于其他 n 次方的开方运算与上述类似，牛顿法在数学分析中使用非常广泛，在此不再一一介绍，喜欢其他关于数学与程序方面的小伙伴可以留言加关注，之后我将会进行讲解 。我是童话君，小伙伴们拜拜～～～
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