有理数为了解决除法封闭性的问题，人们发明了分数 。在4000年前，古埃及人和古希腊人就在使用分数了 。公元前5世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯将整数和分数合在一起，提出了有理数的概念 。所谓有理数，就是可以写成两个整数的比的数 。写作集合就是这样一来，有理数的加、减、乘、除（分母不能为零）就都封闭了 。毕达哥拉斯等人沉醉于自己的成就，他们认为所有的数字都是有理数 。
但是很快，学派内部的学者希帕索斯就发现了问题：如果一个直角三角形的两个直角边都是1，那么斜边无法用两个整数的比来表示 。并由此引发了第一次数学危机 。这个问题在于，有理数对于开方运算是不封闭的，例如：√4=2是有理数，但是√2就不是有理数 。实数人们经过长期的研究，终于发现不仅有可以表示成两个整数的比的有理数，还有不能表示成整数比的无限不循环小数：无理数 。
人们把有理数和无理数合在一起，称为实数 。实数与数轴上的点一一对应 。在数轴上，我们不仅能找到整数1、2、3…，还能找到分数2/3，也能找到e、π、√2等无理数 。但是，数系并没有到此结束 。因为人们发现√-1还是无法在实数范围内找到答案 。也许有人会说：这个数本身就不存在啊！任何一个数的平方都一定是非负的，所以怎么会有一个数字的平方等于-1呢？复数数学家们并不这样认为 。
他们觉得这个数字就好像5-8一样，在某个时刻就会找到它的用处 。的确，现在的物理学和数学中，这个数字的作用非常大 。这就是虚数 。人们定义虚数单位i的含义是i=√-1，也就是说：i每4次幂循环一次 。我们按照这个规律可以计算出i的2018次幂等于-1 。实数和虚数可以合在一起，就构成了复数：形如a bi的数字，其中a和b都是实数，而i是虚数单位 。
复数可以用复平面上的一个点（或者一个有向线段）表示 。复平面是由实轴（OX轴）和虚轴（OY轴）构成的平面 。实轴就是实数轴，上面的每一个点表示一个实数，例如A点就表示1 。虚轴是一个少了原点的数轴，每一个点表示一个虚数，例如B点就表示i 。那么平面上的C点在实轴上投影为2，在虚轴上投影为3，所以C点表示的复数就是2 3i.复数的加减乘除规则与实数非常类似 。
例如：A=1 i，B=2 3i，则A B=3 4i； A-B=-1-2i，A×B=（2-3） （2 3）i=-1 5i等 。显然，复数内的加减乘除（分母不为零）都是封闭的，而且复数的实数次幂也是复数 。不过，问题也接踵而至：一个数的复数次幂是什么？欧拉公式一个整数的有理数幂很简单对于无理数幂，例如2的π次幂，我们总可以用两个有理数去逼近，也就是说我们知道只要我们愿意，总可以把精度无限提高，这样无理数幂次的含义也被我们弄清楚了 。
可是，2的i次幂到底是什么？人们仿佛毫无头绪 。直到欧拉出现了 。欧拉提出了著名的欧拉公式：其中θ是一个实数，e是自然对数的底2.71828…利用这个公式，我们就可以计算一个数的复数次幂了 。例如：其中ln2表示以e为底2的对数，它是一个实数 。有了这个公式，复数在乘方上也封闭起来了 。而且，如果我们令θ=π代入公式，就会得到这就是被誉为世界最美公式的欧拉恒等式 。
欧拉公式的证明和应用欧拉公式有许多证明方法，比如可以使用泰勒展开 。泰勒展开公式是说：一个光滑的函数可以展开成一系列函数的形式 。例如e^x、cosx和sinx可以分别展开成下列形式：我们把x=iθ代入上述公式，就可以发现欧拉公式的左右两边相等 。此外还有求导、积分等方法 。使用欧拉公式可以解决非常多的问题，尤其在实变函数和物理中电学问题里，经常会把一个三角函数写作复数形式进行求解 。
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