高二数学竞赛试题，高二数学问题急 _数学竞赛

1 ，高二数学问题急这样的题有两种解答方法：一个是假设法；另一个是方程。我给你用假设法解答吧：假如都对：应得：20×5=100（分）和总数相差：100-60=40（分）对错一道相差：5+3=8（分）错题数：40÷8=5（道）对题数：20-5=15（道）答：做对了15道题按照设未知数列方程：设对了X道则错了20-x道那么5x-3×（20-x）=605x-60+3x=608x=120x=15所以对了15道题不设未知数直接求解：全部都对了得20×5=100分小明的了60分说明有40分是错的这40分每道题有错了扣掉的3分还有按照对了错加的5分就是每道题8分40÷8=5 所以错了5道题对了20-5=15道题假设都做对了5×20＝100分﹙100－60﹚÷﹙5＋3﹚＝40÷8＝5道题。做错了5道题20－5＝15道题。做对了15道题。15m只有一解即相切，相切就是边缘值，可以是最大或最小 m只有一解即相切，相切就是边缘值，可以是最大或最小

2 ，高二数学求数学题和竞赛试题高中数学最新百度网盘下载链接：https://pan.baidu.com/s/1znmI8mJTas01m1m03zCRfQK12资源实时更新来自:百度网盘提取码: 1234复制提取码跳转?pwd=1234提取码：1234简介：高中数学优质资料下载，包括：试题试卷、课件、教材、视频、各大名师网校合集。【高二数学竞赛试题，高二数学问题急】

3 ，河北省高二数学竞赛试题有数列的题，一些求通项公式的呀。有三角函数、集合、平面几何、解析几何、平面向量、空间几何、空间向量、初等数论、排列组合等有数列的题，一些求通项公式的呀。有三角函数、集合、平面几何、解析几何、平面向量、空间几何、空间向量、初等数论、排列组合等有数列的题，一些求通项公式的呀。有三角函数、集合、平面几何、解析几何、平面向量、空间几何、空间向量、初等数论、排列组合等有数列的题，一些求通项公式的呀。有三角函数、集合、平面几何、解析几何、平面向量、空间几何、空间向量、初等数论、排列组合等

4 ，孩子今年参加全国高中数学竞赛得了个全省3等奖有什么用吗当然会吃力了，能考上大学数学系的学生，很多没有参加过数学竞赛的经历。我在高二时参加数学竞赛，获得了省级一等奖，个中感觉，高中数学竞赛题跟高中数学和大学数学都有所不同。竞赛中，对解析几何、数列、不等式、排列组合的要求是非常高。数学竞赛对数学逻辑、方法、套路各方面要求非常高。比如，放缩法、极限法，换元变换、齐次方程、猜想、构建函数等等，还有，高中数学竞赛还要提前学习大学的内容，这点是必须的。能参加高中数学竞赛，获得省级奖的学生，都不简单。能够参加数学竞赛获得省一等奖的，爱好数学是必然的。很多在高考中取得数学高分的学生，去参加数学竞赛，也是被吊打了。我带过几个厦门市重点高中的学生参加过竞赛，他们高考中分数都很高，数学也很好，但是在竞赛里面，连个市一等奖都拿不到。虽然可以在一定程度上通过刷题来提高数学分数，竞赛的题目就不是简简单单通过刷题能提高的了，对数学热爱是必然要有的。当然，能够报考数学系，说明是热爱数学的，这点是符合的。当然会吃力了，能考上大学数学系的学生，很多没有参加过数学竞赛的经历。我在高二时参加数学竞赛，获得了省级一等奖，个中感觉，高中数学竞赛题跟高中数学和大学数学都有所不同。竞赛中，对解析几何、数列、不等式、排列组合的要求是非常高。数学竞赛对数学逻辑、方法、套路各方面要求非常高。比如，放缩法、极限法，换元变换、齐次方程、猜想、构建函数等等，还有，高中数学竞赛还要提前学习大学的内容，这点是必须的。能参加高中数学竞赛，获得省级奖的学生，都不简单。能够参加数学竞赛获得省一等奖的，爱好数学是必然的。很多在高考中取得数学高分的学生，去参加数学竞赛，也是被吊打了。我带过几个厦门市重点高中的学生参加过竞赛，他们高考中分数都很高，数学也很好，但是在竞赛里面，连个市一等奖都拿不到。虽然可以在一定程度上通过刷题来提高数学分数，竞赛的题目就不是简简单单通过刷题能提高的了，对数学热爱是必然要有的。当然，能够报考数学系，说明是热爱数学的，这点是符合的。明白无误的告诉您，没啥用。不要说是三等奖，就是拿了一等奖，现在也不能直接凭竞赛成绩绕开高考走绿色通道，都是要用高考分数来说话。现在的强基计划对竞赛成绩优秀者倒是有个通道，但是省一都不在范围之内。即便是这个通道也是要看高考成绩，而且只能在指定的数理化生物等几个专业学习，且不能转专业，实在没啥意思。当然会吃力了，能考上大学数学系的学生，很多没有参加过数学竞赛的经历。我在高二时参加数学竞赛，获得了省级一等奖，个中感觉，高中数学竞赛题跟高中数学和大学数学都有所不同。竞赛中，对解析几何、数列、不等式、排列组合的要求是非常高。数学竞赛对数学逻辑、方法、套路各方面要求非常高。比如，放缩法、极限法，换元变换、齐次方程、猜想、构建函数等等，还有，高中数学竞赛还要提前学习大学的内容，这点是必须的。能参加高中数学竞赛，获得省级奖的学生，都不简单。能够参加数学竞赛获得省一等奖的，爱好数学是必然的。很多在高考中取得数学高分的学生，去参加数学竞赛，也是被吊打了。我带过几个厦门市重点高中的学生参加过竞赛，他们高考中分数都很高，数学也很好，但是在竞赛里面，连个市一等奖都拿不到。虽然可以在一定程度上通过刷题来提高数学分数，竞赛的题目就不是简简单单通过刷题能提高的了，对数学热爱是必然要有的。当然，能够报考数学系，说明是热爱数学的，这点是符合的。明白无误的告诉您，没啥用。不要说是三等奖，就是拿了一等奖，现在也不能直接凭竞赛成绩绕开高考走绿色通道，都是要用高考分数来说话。现在的强基计划对竞赛成绩优秀者倒是有个通道，但是省一都不在范围之内。即便是这个通道也是要看高考成绩，而且只能在指定的数理化生物等几个专业学习，且不能转专业，实在没啥意思。这个说法显然是没有参加过竞赛或者没有读过高等数学的人说的话。高中的竞赛不是简简单单把大学的内容下放，那样就没有太多的意义，就变成只是知识面的拓宽，而没有深度。本人小学，中学，大学都参加过数学竞赛，也都有获奖。对竞赛的内容还是相对熟悉的，有两个方面，一方面是高考范围内的知识会加深，另一方面会高考之外的内容，如数论，组合数学等我把我手上的高中数学竞赛教程其中几本的目录以及发出来你就清楚竞赛会有哪些内容了下面是2016年高中数学联赛一试的试卷及答案你可以自己尝试做下看看能得多少分。下面是微积分上册的目录相信通过上面的对比，你应该可以知道竞赛的考察内容和高等数学的区别了吧。如果你要想拿到一个比较好的成绩，需要去买专门的教材，以及找专门培训竞赛的老师。当年我就不知道，等于是裸考，虽然拿到奖，但是拿不了大奖，当时涉及数论的内容没有接触过，基本上是放弃掉的内容。假设题主是备战高中数学联赛，且目前高一。（如果是低年级开始准备效果更佳）1、完成高中数学学习。检验方式：高考数学试卷可以得到135分以上。2、完成高联一试学习。参考书目：奥数教程（华东师大出版社）或其他同类书籍。注意不需要看很多书，关键是做透一套书（比如反复2-3遍）。检验方式：高联一试真题可以得到90分以上。3、选择性进行二试学习。建议平面几何、代数这两部分，目标二试80分。简单地说，高中数学联赛省一（非省队）是可以训练出来的：反复刷一试题+专攻二试的几何与代数。一般而言，高联170分在大多数省份可以获得省一了，也就满足了大多数985高校的自主招生报考条件。当然会吃力了，能考上大学数学系的学生，很多没有参加过数学竞赛的经历。我在高二时参加数学竞赛，获得了省级一等奖，个中感觉，高中数学竞赛题跟高中数学和大学数学都有所不同。竞赛中，对解析几何、数列、不等式、排列组合的要求是非常高。数学竞赛对数学逻辑、方法、套路各方面要求非常高。比如，放缩法、极限法，换元变换、齐次方程、猜想、构建函数等等，还有，高中数学竞赛还要提前学习大学的内容，这点是必须的。能参加高中数学竞赛，获得省级奖的学生，都不简单。能够参加数学竞赛获得省一等奖的，爱好数学是必然的。很多在高考中取得数学高分的学生，去参加数学竞赛，也是被吊打了。我带过几个厦门市重点高中的学生参加过竞赛，他们高考中分数都很高，数学也很好，但是在竞赛里面，连个市一等奖都拿不到。虽然可以在一定程度上通过刷题来提高数学分数，竞赛的题目就不是简简单单通过刷题能提高的了，对数学热爱是必然要有的。当然，能够报考数学系，说明是热爱数学的，这点是符合的。假设题主是备战高中数学联赛，且目前高一。（如果是低年级开始准备效果更佳）1、完成高中数学学习。检验方式：高考数学试卷可以得到135分以上。2、完成高联一试学习。参考书目：奥数教程（华东师大出版社）或其他同类书籍。注意不需要看很多书，关键是做透一套书（比如反复2-3遍）。检验方式：高联一试真题可以得到90分以上。3、选择性进行二试学习。建议平面几何、代数这两部分，目标二试80分。简单地说，高中数学联赛省一（非省队）是可以训练出来的：反复刷一试题+专攻二试的几何与代数。一般而言，高联170分在大多数省份可以获得省一了，也就满足了大多数985高校的自主招生报考条件。当然会吃力了，能考上大学数学系的学生，很多没有参加过数学竞赛的经历。我在高二时参加数学竞赛，获得了省级一等奖，个中感觉，高中数学竞赛题跟高中数学和大学数学都有所不同。竞赛中，对解析几何、数列、不等式、排列组合的要求是非常高。数学竞赛对数学逻辑、方法、套路各方面要求非常高。比如，放缩法、极限法，换元变换、齐次方程、猜想、构建函数等等，还有，高中数学竞赛还要提前学习大学的内容，这点是必须的。能参加高中数学竞赛，获得省级奖的学生，都不简单。能够参加数学竞赛获得省一等奖的，爱好数学是必然的。很多在高考中取得数学高分的学生，去参加数学竞赛，也是被吊打了。我带过几个厦门市重点高中的学生参加过竞赛，他们高考中分数都很高，数学也很好，但是在竞赛里面，连个市一等奖都拿不到。虽然可以在一定程度上通过刷题来提高数学分数，竞赛的题目就不是简简单单通过刷题能提高的了，对数学热爱是必然要有的。当然，能够报考数学系，说明是热爱数学的，这点是符合的。当然会吃力了，能考上大学数学系的学生，很多没有参加过数学竞赛的经历。我在高二时参加数学竞赛，获得了省级一等奖，个中感觉，高中数学竞赛题跟高中数学和大学数学都有所不同。竞赛中，对解析几何、数列、不等式、排列组合的要求是非常高。数学竞赛对数学逻辑、方法、套路各方面要求非常高。比如，放缩法、极限法，换元变换、齐次方程、猜想、构建函数等等，还有，高中数学竞赛还要提前学习大学的内容，这点是必须的。能参加高中数学竞赛，获得省级奖的学生，都不简单。能够参加数学竞赛获得省一等奖的，爱好数学是必然的。很多在高考中取得数学高分的学生，去参加数学竞赛，也是被吊打了。我带过几个厦门市重点高中的学生参加过竞赛，他们高考中分数都很高，数学也很好，但是在竞赛里面，连个市一等奖都拿不到。虽然可以在一定程度上通过刷题来提高数学分数，竞赛的题目就不是简简单单通过刷题能提高的了，对数学热爱是必然要有的。当然，能够报考数学系，说明是热爱数学的，这点是符合的。明白无误的告诉您，没啥用。不要说是三等奖，就是拿了一等奖，现在也不能直接凭竞赛成绩绕开高考走绿色通道，都是要用高考分数来说话。现在的强基计划对竞赛成绩优秀者倒是有个通道，但是省一都不在范围之内。即便是这个通道也是要看高考成绩，而且只能在指定的数理化生物等几个专业学习，且不能转专业，实在没啥意思。5 ，某校高二年级某班的数学课外活动小组中有6名男生和4名女生从中选丙当了2局裁判,甲乙比赛2局,甲丙比赛5-2=3局.甲乙比赛2局,乙丙比赛,6-2=4局所以以丙的比赛过程来看整个比赛甲丙+乙丙+丙裁判=3+4+2=9局设甲和乙打了x局乙和丙打了y局甲和丙打了z局丙当了2局裁判所以甲和乙打了2局甲和丙打了3局乙和丙打了4局求方程整个比赛一共进行了（5+6+7）/2=9选择a因为丙当2局裁判，则甲和乙打了2局甲和丙了3局，乙和丙打了4局。2+3+4=9选A答案是;丙当了两回裁判,说明甲乙互打了两局,那么甲,乙另几局跟丙打,那么总数就是2+(6-2)+(5-2)=9A第一轮丙当裁判，乙输，后面2--7轮丙赢，甲乙轮裁判，第8轮丙输了到第九轮当裁判，甲乙谁打5局谁打6局无所谓关键是丙当两次裁判，解答完毕解：∵同班级的同学不能相邻∴3名的，只能排在第1、3、5或者2、4、6位置。这样有3！×2=12种余下的不会相邻，余下的有3！=6种∴共有12×6=72种为方便设a,b,c班有1 ， 2 ， 3名同学获奖。根据要求， c班生排位有两种情况1）c生之间只隔1人，即135或246位置，这样任何排列都符合要求，所以排法有2P(3,3)P(3,3)=2*(3*2*1)(3*2*1)=72c生， ab生排列数2)c生有两人之间隔2人，即136或146位置，这样的排列必须a生站在剩余的两个相连位置中才符合要求，所以排法有2P(3,3)P(2,1)P(2,2)=2*(3*2*1)*2*(2*1)=48c生a生b生排列数综上，共有72+48=120种排法。注:P(m,n)表示总数m中选n个的排列数。abayinggai0111826038041X 0 1 2 3 4 P 1/210 4/35 15/35 8/21 1/146 ，高二数学5173高二数学（上）《抛物线》综合2验题1.doc......选择题：答案 B D B DC CC A B D C B1、准线方程为x=2的抛物线的标准方程是（A）y2=－4x（B）y2=－8x（C）y2=4x（D）y2=8x2、抛物线y2=10x的焦点 ...高二数学抛物线，高二数学抛物线试题......选择题：答案 B D B DC CC A B D C B1、准线方程为x=2的抛物线的标准方程是（A）y2=－4x（B）y2=－8x（C）y2=4x（D）y2=8x2、抛物线y2=10x的焦点 ...573个精品高二数学课件全集_三垂线定理_罗移丰.rar......垂线定理及逆定理 a A P o α 预习：什么叫平面的斜线、垂线、射影？如果aα,a⊥AO三垂线定理，三垂线定理教案思考a与PO的位置关系如何？ a A P o αPO是平面α的斜线,O为 ...07届江西省上高二中高三第二次月考数学试题（文科）.rar......一．选择题：（本大题共12小题江西省上高二中，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设P、S、T是三个非空的集合，上高二中若x(P是x(S或x(T成立 ...范水高级中学高二数学练习（1）（重）......命题、打印：杨启进责任人：胡广宏练习日期：2005年2月27日学号班级姓名成绩选择题（5分×12=60分） ...范水高级中学，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设P、S、T是三个非空的集合，宝应县范水高级中学......命题、打印：杨启进责任人：胡广宏练习日期：2005年2月27日学号班级姓名成绩选择题（5分×12=60分） ...573个精品高二数学课件全集_倾斜角与斜率132_罗移丰.ppt......线的倾斜角与斜率主讲罗移丰教学目的：1、了解直线的方程和方程的直线 2、了解直线的倾斜角的概念倾斜角与斜率ppt ，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设P、S、T是三个非空的集合，理解直线的斜率的概念 3、已知直线的倾斜角（斜率），高二地理课件ppt会解直 ...西安市八十五中学2004-2005学年第一学期高二数学期中考试试题.doc......(A)充分条件 (B)必要条件 (C)充要条件 (D)既非充分又非必要条件直线AB的斜率为2西安市第八十五中学，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设P、S、T是三个非空的集合，理解直线的斜率的概念 3、已知直线的倾斜角（斜率），将直线绕点A(1,0)逆时针方向旋转后，西安市八十五中此时的直线的斜率为（）(A) -3(B) ...华东师大一附中2005学年度第二学期高二年级数学学科期终考试试题.doc......东师大一附中200学年度第二学期高二年级数学学科期终考试试题一、填空题 (本大题满分40分) 本大题共有10题福建师大附中，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设P、S、T是三个非空的集合，理解直线的斜率的概念 3、已知直线的倾斜角（斜率），将直线绕点A(1,0)逆时针方向旋转后，只要求直接填写结果，每题填对得4分，湖南师大附中否则一律得零分 ...第二讲-不等式的性质-高二数学上学期复习教案.doc......3.设a,b,c∈R+,且a+b+c+=1,若M=高二数学不等式复习，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设P、S、T是三个非空的集合，理解直线的斜率的概念 3、已知直线的倾斜角（斜率），将直线绕点A(1,0)逆时针方向旋转后，只要求直接填写结果，每题填对得4分，高二数学不等式则必有()A.0≤M<1/8B.1/8≤M≤1C.1≤M<8D.M≤84.已知且,且与两数应满足()A.都大于2B. ...高二数学月考孝中2006级阶段（1）数学试题-高二数学月考.doc......4. 两直线ax+2y=1与（2a-1）x+ay=2互相垂直高二数学知识点doc ，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设P、S、T是三个非空的集合，理解直线的斜率的概念 3、已知直线的倾斜角（斜率），将直线绕点A(1,0)逆时针方向旋转后，只要求直接填写结果，每题填对得4分，高二数学doc则a=（）A、-B、0C、-或0D、或05. 下列各式中最小值为2的是（）A、+B、C、tanx+c ...澄海中学2004-2005高二数学竞赛试卷(及参考解答）.doc......A．B． C．D．4. 过正方体ABCD—A1B1C1D1的对角线BD1的截面面积为S高二物理试卷doc ，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设P、S、T是三个非空的集合，理解直线的斜率的概念 3、已知直线的倾斜角（斜率），将直线绕点A(1,0)逆时针方向旋转后，只要求直接填写结果，每题填对得4分， Smax和Smin分别为S的最大值和最小值， doc 高二数学试卷则的值为()A． B． C． D．5. 设单调递 ...详见：http://hi.baidu.com/mumucall/blog/item/7b1addc294f9a5b88226acbc.html7 ，在全国高中数学竞赛第2卷只有3道题已知 1某校有25个学生参加竞解：设方程x^2-mnx+(m+n)=0的两个根为a ， b则由韦达定理，得：a+b=-mnab=m+n由题意知：m+n为正整数，表明a、b同号；而-mn为负整数，则再说明a、b同为负整数。若0<m、n≤1 ，显然方程x^2-mnx+(m+n)=0的两个根都不为整数若m、n≥2 ，则必有m+n≤mn ， ab≤-(a+b)ab+a+b≤0a(b+1)+(b+1)≤1(a+1)(b+1)≤1由上可知， a、b同为负整数，即：a、b的值可能为：-1、-2、-3、···等等；由于a、b地位相同，所以只考虑1、当a=-1时，有：-1+b=-mn··········①-b=m+n··········②①+② ，得：-1=m+n-mnmn-m-n=1(m-1)(n-1)=2由于m、n为正整数，不考虑主次，必有：m-1=1n-1=2m=2 ， n=3；此时的b=-5；2、当a=-2时，有：-2+b=-mn··········③-2b=m+n··········④③×2+④ ，得：-4=m+n-2mn2mn-m-n=4(2m-1)(2n-1)=9由于m、n为正整数，不考虑主次，必有：2m-1=12n-1=9m=1 ， n=5；此时的b=-3；和：2m-1=32n-1=3m=2 ， n=2；此时的b=-23、当a=-3时，由上知b=-2；当a=-4、-5、-6···等等时，要使(a+1)(b+1)≤1成立，只能是b=-1 ，但b=-1时，由上知a=-5 。综上，符合要求的m、n对数有3对：(2,3)、(1,5)、(2,2) (2)(3) 原式=lim(n->∞) =lim(n->∞)log2 =lim(n->∞)log2 =log2(1) =0你确定没有其他条件了吗?设：只解出第一道题的人数是x1 ，不止解出第一题的学生人数是x2；未解出第一道题的学生中，只解出第2题的人数是y ，只解出第3题的人数是w ，解出2、3题的人数是r；x1=1+x225-（x1+x2）=y+w+ry+r=2（w+r）x1=y+w整理后26=9w+4r由于w、r必须是整数，所以得出w=2 ， r+2 ， y=6 ， x1=8 ， x2=7解出第二题的人数是y+r=8人解：设只做第一题的为a,只做第二题的为b,只做第三题的为c ，只做了一题和二题的为e,只做了1.3的为d,只做了2,3的为f ，三题都做的为g a+b+c+d+e+f+g=25 ① b+f=2(c+f) ② a=d+e+g+1 ③ a=b+c ④ 把②化简代入①得， a+2b-c+d+e+g=25 ⑤ 把③带入⑤ ，得2b-c+2d+2e+2g=24 ⑥ 把④带入 ⑤ ， 3b+d+e+g=25 ⑦ ⑦*2-⑥ ，得4b+c=26 因为c>=0,所以b<=6又1/2 由②和⑧消c ，得f=b-2(26-4b)=9b-52 因为f>=0,所以b<=5又7/9 所以b取整数6 。答：只做第二题的人有6人8 ，在全国高中数学竞赛第2卷只有3道题已知 1某校有25个学生参加竞解：设方程x^2-mnx+(m+n)=0的两个根为a ， b则由韦达定理，得：a+b=-mnab=m+n由题意知：m+n为正整数，表明a、b同号；而-mn为负整数，则再说明a、b同为负整数。若0<m、n≤1 ，显然方程x^2-mnx+(m+n)=0的两个根都不为整数若m、n≥2 ，则必有m+n≤mn ， ab≤-(a+b)ab+a+b≤0a(b+1)+(b+1)≤1(a+1)(b+1)≤1由上可知， a、b同为负整数，即：a、b的值可能为：-1、-2、-3、···等等；由于a、b地位相同，所以只考虑1、当a=-1时，有：-1+b=-mn··········①-b=m+n··········②①+② ，得：-1=m+n-mnmn-m-n=1(m-1)(n-1)=2由于m、n为正整数，不考虑主次，必有：m-1=1n-1=2m=2 ， n=3；此时的b=-5；2、当a=-2时，有：-2+b=-mn··········③-2b=m+n··········④③×2+④ ，得：-4=m+n-2mn2mn-m-n=4(2m-1)(2n-1)=9由于m、n为正整数，不考虑主次，必有：2m-1=12n-1=9m=1 ， n=5；此时的b=-3；和：2m-1=32n-1=3m=2 ， n=2；此时的b=-23、当a=-3时，由上知b=-2；当a=-4、-5、-6···等等时，要使(a+1)(b+1)≤1成立，只能是b=-1 ，但b=-1时，由上知a=-5 。综上，符合要求的m、n对数有3对：(2,3)、(1,5)、(2,2) 你确定没有其他条件了吗?丙当了2局裁判,甲乙比赛2局,甲丙比赛5-2=3局.甲乙比赛2局,乙丙比赛,6-2=4局所以以丙的比赛过程来看整个比赛甲丙+乙丙+丙裁判=3+4+2=9局设甲和乙打了x局乙和丙打了y局甲和丙打了z局丙当了2局裁判所以甲和乙打了2局甲和丙打了3局乙和丙打了4局求方程整个比赛一共进行了（5+6+7）/2=9选择a因为丙当2局裁判，则甲和乙打了2局甲和丙了3局，乙和丙打了4局。2+3+4=9选A答案是;丙当了两回裁判,说明甲乙互打了两局,那么甲,乙另几局跟丙打,那么总数就是2+(6-2)+(5-2)=9A第一轮丙当裁判，乙输，后面2--7轮丙赢，甲乙轮裁判，第8轮丙输了到第九轮当裁判，甲乙谁打5局谁打6局无所谓关键是丙当两次裁判，解答完毕设：只解出第一道题的人数是x1 ，不止解出第一题的学生人数是x2；未解出第一道题的学生中，只解出第2题的人数是y ，只解出第3题的人数是w ，解出2、3题的人数是r；x1=1+x225-（x1+x2）=y+w+ry+r=2（w+r）x1=y+w整理后26=9w+4r由于w、r必须是整数，所以得出w=2 ， r+2 ， y=6 ， x1=8 ， x2=7解出第二题的人数是y+r=8人解：设只做第一题的为a,只做第二题的为b,只做第三题的为c ，只做了一题和二题的为e,只做了1.3的为d,只做了2,3的为f ，三题都做的为g a+b+c+d+e+f+g=25 ① b+f=2(c+f) ② a=d+e+g+1 ③ a=b+c ④ 把②化简代入①得， a+2b-c+d+e+g=25 ⑤ 把③带入⑤ ，得2b-c+2d+2e+2g=24 ⑥ 把④带入 ⑤ ， 3b+d+e+g=25 ⑦ ⑦*2-⑥ ，得4b+c=26 因为c>=0,所以b<=6又1/2 由②和⑧消c ，得f=b-2(26-4b)=9b-52 因为f>=0,所以b<=5又7/9 所以b取整数6 。答：只做第二题的人有6人9 ，一次数学竞赛共20道题每做对一道题得5分做错一道题倒扣3分解：∵同班级的同学不能相邻∴3名的，只能排在第1、3、5或者2、4、6位置。这样有3！×2=12种余下的不会相邻，余下的有3！=6种∴共有12×6=72种为方便设a,b,c班有1 ， 2 ， 3名同学获奖。根据要求， c班生排位有两种情况1）c生之间只隔1人，即135或246位置，这样任何排列都符合要求，所以排法有2P(3,3)P(3,3)=2*(3*2*1)(3*2*1)=72c生， ab生排列数2)c生有两人之间隔2人，即136或146位置，这样的排列必须a生站在剩余的两个相连位置中才符合要求，所以排法有2P(3,3)P(2,1)P(2,2)=2*(3*2*1)*2*(2*1)=48c生a生b生排列数综上，共有72+48=120种排法。注:P(m,n)表示总数m中选n个的排列数。abayinggai这样的题有两种解答方法：一个是假设法；另一个是方程。我给你用假设法解答吧：假如都对：应得：20×5=100（分）和总数相差：100-60=40（分）对错一道相差：5+3=8（分）错题数：40÷8=5（道）对题数：20-5=15（道）答：做对了15道题按照设未知数列方程：设对了X道则错了20-x道那么5x-3×（20-x）=605x-60+3x=608x=120x=15所以对了15道题不设未知数直接求解：全部都对了得20×5=100分小明的了60分说明有40分是错的这40分每道题有错了扣掉的3分还有按照对了错加的5分就是每道题8分40÷8=5 所以错了5道题对了20-5=15道题假设都做对了5×20＝100分﹙100－60﹚÷﹙5＋3﹚＝40÷8＝5道题。做错了5道题20－5＝15道题。做对了15道题。15 这样的题有两种解答方法：一个是假设法；另一个是方程。我给你用假设法解答吧：假如都对：应得：20×5=100（分）和总数相差：100-60=40（分）对错一道相差：5+3=8（分）错题数：40÷8=5（道）对题数：20-5=15（道）答：做对了15道题按照设未知数列方程：设对了X道则错了20-x道那么5x-3×（20-x）=605x-60+3x=608x=120x=15所以对了15道题不设未知数直接求解：全部都对了得20×5=100分小明的了60分说明有40分是错的这40分每道题有错了扣掉的3分还有按照对了错加的5分就是每道题8分40÷8=5 所以错了5道题对了20-5=15道题假设都做对了5×20＝100分﹙100－60﹚÷﹙5＋3﹚＝40÷8＝5道题。做错了5道题20－5＝15道题。做对了15道题。15 10 ，高中数学联赛竞赛模拟试题5 答案全国高中数学联赛模拟试题（五）（命题人：罗增儒）第一试选择题：（每小题6分，共36分）空间中n（n≥3）个平面，其中任意三个平面无公垂面．那么，下面四个结论没有任何两个平面互相平行；没有任何三个平面相交于一条直线；平面间的任意两条交线都不平行；平面间的每一条交线均与n(2个平面相交．其中，正确的个数为（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 若函数y=f(x)在[a,b]上的一段图像可以近似地看作直线段，则当c∈(a,b)时， f(c)的近似值可表示为（A）（B）（C）（D）设a＞b＞c ， a+b+c=1 ，且a2+b2+c2=1 ，则（A）a+b＞1 （B）a+b=1 （C）a+b＜1 （D）不能确定，与a、b的具体取值有关设椭圆的离心率，已知点到椭圆上的点的最远距离是，则短半轴之长b= （A）（B）（C）（D） S=（A）（B）（C）（D）长方体ABCD(A1B1C1D1 ， AC1为体对角线．现以A为球心， AB、AD、AA1、AC1为半径作四个同心球，其体积依次为V1、V2、V3、V4 ，则有（A）V4＜V1+V2+V3 （B）V4=V1+V2+V3 （C）V4＞V1+V2+V3 （D）不能确定，与长方体的棱长有关填空题：（每小题9分，共54分） 1、已知，则k的取值范围为． 2、等差数列3、在四面体P(ABC中， PA=PB=a ， PC=AB=BC=CA=b ，且a＜b ，则的取值范围为． 4、动点A对应的复数为z=4(cos?+isin?) ，定点B对应的复数为2 ，点C为线段AB的中点，过点C作AB的垂线交OA与D ，则D所在的轨迹方程为． 5、被8所除得的余数为． 6、圆周上有100个等分点，以这些点为顶点组成的钝角三角形的个数为．（20分）已知抛物线y2=2px(p＞0)的一条长为l的弦AB．求AB中点M到y轴的最短距离，并求出此时点M的坐标．（20分）单位正方体ABCD(A1B1C1D1中，正方形ABCD的中心为点M ，正方形A1B1C1D1的中心为点N ，连AN、B1M．（1）求证：AN、B1M为异面直线；（2）求出AN与B1M的夹角．（20分）对正实数a、b、c．求证： ≥9．第二试（50分）设ABCD是面积为2的长方形， P为边CD上的一点， Q为△PAB的内切圆与边AB的切点．乘积PA·PB的值随着长方形ABCD及点P的变化而变化，当PA·PB取最小值时，（1）证明：AB≥2BC；（2）求AQ·BQ的值．（50分）给定由正整数组成的数列（n≥1）．（1）求证：数列相邻项组成的无穷个整点 (a1,a2) ， (a3,a4) ， … ， (a2k-1,a2k) ， … 均在曲线x2+xy(y2+1=0上．（2）若设f(x)=xn+xn-1(anx(an-1 ， g(x)=x2(x(1 ，证明：g(x)整除f(x)．（50分）我们称A1,A2,…,An为集合A的一个n分划，如果（1）；（2）， 1≤i＜j≤n．求最小正整数m ，使得对A＝参考答案第一试一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 答案 D C A C B C 二、填空题： 1、； 2、17； 3、； 4、； 5、4； 6、117600．三、．四、（1）证略；（2）．五、证略．第二试一、（1）证略（提示：用面积法，得PA·PB最小值为2 ，此时∠APB＝90°）；（2）AQ·BQ=1．二、证略（提示：用数学归纳法）．三、m=117．我不会~~~但还是要微笑~~~：）全国高中数学联赛模拟试题（五）（命题人：罗增儒）第一试选择题：（每小题6分，共36分）空间中n（n≥3）个平面，其中任意三个平面无公垂面．那么，下面四个结论没有任何两个平面互相平行；没有任何三个平面相交于一条直线；平面间的任意两条交线都不平行；平面间的每一条交线均与n(2个平面相交．其中，正确的个数为（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 若函数y=f(x)在[a,b]上的一段图像可以近似地看作直线段，则当c∈(a,b)时， f(c)的近似值可表示为（A）（B）（C）（D）设a＞b＞c ， a+b+c=1 ，且a2+b2+c2=1 ，则（A）a+b＞1 （B）a+b=1 （C）a+b＜1 （D）不能确定，与a、b的具体取值有关设椭圆的离心率，已知点到椭圆上的点的最远距离是，则短半轴之长b= （A）（B）（C）（D） S=（A）（B）（C）（D）长方体ABCD(A1B1C1D1 ， AC1为体对角线．现以A为球心， AB、AD、AA1、AC1为半径作四个同心球，其体积依次为V1、V2、V3、V4 ，则有（A）V4＜V1+V2+V3 （B）V4=V1+V2+V3 （C）V4＞V1+V2+V3 （D）不能确定，与长方体的棱长有关填空题：（每小题9分，共54分） 1、已知，则k的取值范围为． 2、等差数列3、在四面体P(ABC中， PA=PB=a ， PC=AB=BC=CA=b ，且a＜b ，则的取值范围为． 4、动点A对应的复数为z=4(cos?+isin?) ，定点B对应的复数为2 ，点C为线段AB的中点，过点C作AB的垂线交OA与D ，则D所在的轨迹方程为． 5、被8所除得的余数为． 6、圆周上有100个等分点，以这些点为顶点组成的钝角三角形的个数为．（20分）已知抛物线y2=2px(p＞0)的一条长为l的弦AB．求AB中点M到y轴的最短距离，并求出此时点M的坐标．（20分）单位正方体ABCD(A1B1C1D1中，正方形ABCD的中心为点M ，正方形A1B1C1D1的中心为点N ，连AN、B1M．（1）求证：AN、B1M为异面直线；（2）求出AN与B1M的夹角．（20分）对正实数a、b、c．求证： ≥9．第二试（50分）设ABCD是面积为2的长方形， P为边CD上的一点， Q为△PAB的内切圆与边AB的切点．乘积PA·PB的值随着长方形ABCD及点P的变化而变化，当PA·PB取最小值时，（1）证明：AB≥2BC；（2）求AQ·BQ的值．（50分）给定由正整数组成的数列（n≥1）．（1）求证：数列相邻项组成的无穷个整点 (a1,a2) ， (a3,a4) ， … ， (a2k-1,a2k) ， … 均在曲线x2+xy(y2+1=0上．（2）若设f(x)=xn+xn-1(anx(an-1 ， g(x)=x2(x(1 ，证明：g(x)整除f(x)．（50分）我们称A1,A2,…,An为集合A的一个n分划，如果（1）；（2）， 1≤i＜j≤n．求最小正整数m ，使得对A＝参考答案第一试一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 答案 D C A C B C 二、填空题： 1、； 2、17； 3、； 4、； 5、4； 6、117600．三、．四、（1）证略；（2）．五、证略．第二试一、（1）证略（提示：用面积法，得PA·PB最小值为2 ，此时∠APB＝90°）；（2）AQ·BQ=1．二、证略（提示：用数学归纳法）．三、m=117．我不会~~~但还是要微笑~~~：）全国高中数学联赛模拟试题（五）（命题人：罗增儒）第一试选择题：（每小题6分，共36分）空间中n（n≥3）个平面，其中任意三个平面无公垂面．那么，下面四个结论没有任何两个平面互相平行；没有任何三个平面相交于一条直线；平面间的任意两条交线都不平行；平面间的每一条交线均与n(2个平面相交．其中，正确的个数为（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 若函数y=f(x)在[a,b]上的一段图像可以近似地看作直线段，则当c∈(a,b)时， f(c)的近似值可表示为（A）（B）（C）（D）设a＞b＞c ， a+b+c=1 ，且a2+b2+c2=1 ，则（A）a+b＞1 （B）a+b=1 （C）a+b＜1 （D）不能确定，与a、b的具体取值有关设椭圆的离心率，已知点到椭圆上的点的最远距离是，则短半轴之长b= （A）（B）（C）（D） S=（A）（B）（C）（D）长方体ABCD(A1B1C1D1 ， AC1为体对角线．现以A为球心， AB、AD、AA1、AC1为半径作四个同心球，其体积依次为V1、V2、V3、V4 ，则有（A）V4＜V1+V2+V3 （B）V4=V1+V2+V3 （C）V4＞V1+V2+V3 （D）不能确定，与长方体的棱长有关填空题：（每小题9分，共54分） 1、已知，则k的取值范围为． 2、等差数列3、在四面体P(ABC中， PA=PB=a ， PC=AB=BC=CA=b ，且a＜b ，则的取值范围为． 4、动点A对应的复数为z=4(cos?+isin?) ，定点B对应的复数为2 ，点C为线段AB的中点，过点C作AB的垂线交OA与D ，则D所在的轨迹方程为． 5、被8所除得的余数为． 6、圆周上有100个等分点，以这些点为顶点组成的钝角三角形的个数为．（20分）已知抛物线y2=2px(p＞0)的一条长为l的弦AB．求AB中点M到y轴的最短距离，并求出此时点M的坐标．（20分）单位正方体ABCD(A1B1C1D1中，正方形ABCD的中心为点M ，正方形A1B1C1D1的中心为点N ，连AN、B1M．（1）求证：AN、B1M为异面直线；（2）求出AN与B1M的夹角．（20分）对正实数a、b、c．求证： ≥9．第二试（50分）设ABCD是面积为2的长方形， P为边CD上的一点， Q为△PAB的内切圆与边AB的切点．乘积PA·PB的值随着长方形ABCD及点P的变化而变化，当PA·PB取最小值时，（1）证明：AB≥2BC；（2）求AQ·BQ的值．（50分）给定由正整数组成的数列（n≥1）．（1）求证：数列相邻项组成的无穷个整点 (a1,a2) ， (a3,a4) ， … ， (a2k-1,a2k) ， … 均在曲线x2+xy(y2+1=0上．（2）若设f(x)=xn+xn-1(anx(an-1 ， g(x)=x2(x(1 ，证明：g(x)整除f(x)．（50分）我们称A1,A2,…,An为集合A的一个n分划，如果（1）；（2）， 1≤i＜j≤n．求最小正整数m ，使得对A＝参考答案第一试一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 答案 D C A C B C 二、填空题： 1、； 2、17； 3、； 4、； 5、4； 6、117600．三、．四、（1）证略；（2）．五、证略．第二试一、（1）证略（提示：用面积法，得PA·PB最小值为2 ，此时∠APB＝90°）；（2）AQ·BQ=1．二、证略（提示：用数学归纳法）．三、m=117．我不会~~~但还是要微笑~~~：）11 ，高中数学竞赛题楼上的证明方法肯定是错了，因为不可能证明“若x,y,z都不等于0 ，原式>=3√2/2” 。事实上若x,y,z都不等于0 ，原式可以无限接近2 最小值确实是2 ，这种题最没有技术含量也最容易掌握的方法就是“局部调整” 设x>=y>=z 首先固定z和x+y ，调整x-y的大小，希望证明当x=y时取得最小值设x=t+s ， y=t-s ，其中t>=z ，注意s的取值范围是[0 ， t-z] 此时原式成为s的一元函数，对s求导可知导函数在[0 ， t-z]上恒为非负，所以原式当s=0时取最小值现在证明了原式的最小值一定在x=y>=z时取到，接下来固定x ，调整z ， z的取值范围是[0 ， x] 此时原式成为z的一元函数，对z求导可知存在w ， 0设：只解出第一道题的人数是x1 ，不止解出第一题的学生人数是x2；未解出第一道题的学生中，只解出第2题的人数是y ，只解出第3题的人数是w ，解出2、3题的人数是r；x1=1+x225-（x1+x2）=y+w+ry+r=2（w+r）x1=y+w整理后26=9w+4r由于w、r必须是整数，所以得出w=2 ， r+2 ， y=6 ， x1=8 ， x2=7解出第二题的人数是y+r=8人解：设只做第一题的为a,只做第二题的为b,只做第三题的为c ，只做了一题和二题的为e,只做了1.3的为d,只做了2,3的为f ，三题都做的为g a+b+c+d+e+f+g=25 ① b+f=2(c+f) ② a=d+e+g+1 ③ a=b+c ④ 把②化简代入①得， a+2b-c+d+e+g=25 ⑤ 把③带入⑤ ，得2b-c+2d+2e+2g=24 ⑥ 把④带入 ⑤ ， 3b+d+e+g=25 ⑦ ⑦*2-⑥ ，得4b+c=26 因为c>=0,所以b<=6又1/2 由②和⑧消c ，得f=b-2(26-4b)=9b-52 因为f>=0,所以b<=5又7/9 所以b取整数6 。答：只做第二题的人有6人（0）引子。1 = 3^2mod(8), 但， 3 = 3mod(8)不等于1mod(8),也不等于 -1mod(8). 因此，由 a^2 = 1mod(b),并不能推得 a = 1mod(b)或者a= -1mod(b). ... （1）d6,d7必没有相同的质因子。否则，设该质因子为p, 则，显然p是n的质因子。但 n = (d6)^2 + (d7)^2 -1, 0 mod(p) = n mod(p) = [0 + 0 - 1] mod(p) = -1 mod(p).矛盾。因此， d6,d7必没有相同的质因子。（2) n = m(d6)(d7).其中， m为正整数。因， d7为n的约数，因此，有 n = k(d7). k为正整数。但， d6也为n的约数，所以， k(d7) = 0 mod(d6). 而由（1）， d6,d7必没有相同的质因子。因此，只有， k = 0mod(d6), 故存在1个正整数m ，使得， k = m(d6) 。所以， n = k(d7) = m(d6)(d7). (3)m >= 2. 记， d6 = a, d7 = x, x,a均为大于5的正整数。则， a^2 + x^2 - 1 = amx, x^2 - amx + a^2 - 1 = 0 必须有关于x的正整数解存在。Delta = a^2m^2 - 4[a^2 - 1]= 4 + a^2[m^2 - 4]= 4 + a^2(m-2)(m+2) 若m = 1, Delta = 4 - 3a^2 < 4 - 3*5^2 = - 71 < 0,不符题意。因此， m>=2. (4）记z为 (mx) 的最小的质因子，则z = m 。m >= 2. d6 = a, d7 = x. a < x. n = max. 因 za也是n 的约数。要保证a,x是 n的连续的2个约数。只有， a < x < za. 2 <= z <= m. 设 f(t) = t^2 - amt + a^2 - 1. 则， f(x) = 0. 而 f(0) = a^2 - 1 > 0. f(a) = a^ - ma^2 + a^2 - 1 = (2-m)a^2 - 1 < 0. 因此， f(t)在(0,a)之间有一个零点。则f(t)的另一个大于a的零点x,一定在开区间(a,za)上。因此， f(za) = (za)^2 - mza^2 + a^2 - 1 = a^2[z^2 - mz + 1] - 1 = a^2[z(z-m) + 1] - 1 必须要大于零。也就是， z(z-m) + 1 >= 1 z(z-m) >= 0. 但， 2 <= z <= m, z - m <= 0. 所以，只能， z = m (5) n = max, (m-1)a < x < ma. 接（4）， f[(m-1)a] = [(m-1)a]^2 - ma^2(m-1) + a^2 - 1 = a^2[m^2 - 2m + 1 - m^2 + m + 1] - 1 = a^2[2-m] - 1 < 0. f[ma] = [ma]^2 - ma^2 + a^2 - 1 = a^2[m^2 - m + 1] - 1 = a^2[(m-1/2)^2 + 3/4] - 1 > 0. (m-1)a < x < ma. (6)若m,a,x互质，则无解。(6-1)a,x都是质数。则 1 < m < a < x. a是n的第3个约数，矛盾。无解。因此，若m,a,x互质，则a,x中至少有1个是合数。（6-2）a,x中至少有1个数有2个或者2个以上的质因子。设 a(或者x) = g*h*t. g < h 是质数， t是正整数。则， 1,m,g,h,mg,mh,gh是小于或者等于x的n的7个约数。因a,x互质，这7个约数中的后2个不可能是a和x. 无解。因此，若m,a,x互质，则a,x都只能有1个质因子。(6-3)a,x都只有1个质因子。设 a(或者x) = g^k. m < g. g是质数。若 k >= 3. 则， 1,m,g,mg,g^2,mg^2,g^3是n的小于或者等于x的7个约数。因a,x互质。a,x不可能是第6和第7个约数。因此，若a,x都只有1个质因子。则 1<= k <= 2. 设a = g^2, 1,m,g,mg,g^2是n的小于或者等于x的5个约数，要使 g^2不是第5个约数。x必须有因子小于g^2. 由（6-2）只需讨论， x = h^2 。此时， m < g < h. 1,m,g,h,mg,mh,g^2,h^2. a,x是n的第7 ，第8个约数。矛盾。同理，当x = g^2时，也无解。若质数g,h ，是a,x的质因子。a = g^k, x = h^s. 则，只能， k = s = 1. 但这又等同于（6-1）。因此，当a,x都只有1个质因子时，无解。综合（6-1）~（6-3）知，当m,a,y互质时，无解。这样，若有解，则a,x中必须有（且只能有）1个数，是m的倍数。（7）a = m^kg. k>=2, g是大于m的正整数。则无解。若n = m^(k+1)gx, a = m^kg. k >= 2. 因1 ， m, g, m^2, mg, m^3, m^2g 是n的小于或者等于x的7个约数。由a,x互质，矛盾。（8）x = m^kg. k>=2, g是大于m的正整数。则无解。若n = m^(k+1)gx, x = m^kg. k >= 2. 因1 ， m, g, m^2, mg, m^3, m^2g 是n的小于或者等于x的7个约数。由a,x互质，矛盾。若a,x中是m的倍数的那个数还至少有1个大于m的质因子的话。那个数关于m的幂次只能为1 。（9）a = mg. g是大于m的正整数。则无解。若 n = m^2gx, a = mg. 因1 ， m,g,m^2,mg是n的小于或者等于x的5个约数。要使得 mg是第6个约数， x必须有小于mg的因子。设 x = ht. h < mg, m < h <= t, 则1 ， m, g, m^2, h, mg, mh 是n的小于x的7个约数,矛盾。（10）x = mg. g是大于m的正整数。则无解。若n = m^2ga, x = mg. 因1 ， m, g, m^2, a, mg是n的小于或者等于x的6个约数。要使得 mg是第7个约数， a必须有小于mg的因子。设 a = ht. h < mg, m < h <= t. m^2 < mh < ht = a < y = mg. 则 1 ， m, g, m^2, h, mh,ht是n的小于x的7个约数。矛盾。这样， a,x中是m的倍数的那个数只能是m的幂。（11）a（或者x） = m^k, k>= 6. 无解. 若 n = m^(k+1)g. g >m, g 为整数。1,m,m^2,m^3,m^4,m^5,m^6是n的小于或者等于x的7个约数。但a,x互质,矛盾。（12）a = m^4,无解。若， n = m^5x ， a = m^4. 1,m,m^2,m^3,m^4是n的小于或者等于x的5个约数。要使得a = m^4是n的第6个约数。x必须有小于m^4的因子。设 x = ht. h < m^4, m < h <= t. mh < ht 则1 ， m, m^2, m^3, h, mh, m^4是n的小于x的7个约数,矛盾。(13) x = m^4,无解。若n = m^5a ， x = m^4. 1,m, m^2, m^3, m^4是n的小于或者等于x的5个约数。要使得x = m^4是n的第7个约数。a必须有小于m^4的因子。设 a = ht. h < m^4, m < h <= t. mh < ht = a < x 则1 ， m,m^2,m^3,h,mh,ht是n的小于x的7个约数,矛盾。(14)a = m^2,无解。若n = m^3x, a = m^2. 1,m,m^2,是n的小于或者等于x的3个约数。要使得a = m^2是n的第6个约数。x必须有小于m^2的因子。设 y = ht. h < m^2, m < h <= t. m^2 < mh < ht 因此， m^2 和 ht不可能是相连的约数。矛盾。（15）x = m^2,无解。若n = m^3a ， x = m^2. 1,m,m^2,是n的小于或者等于y的3个约数。要使得y = m^2是n的第7个约数。a必须有小于m^2的因子。设 a = ht. h < m^2, m < h <= t. m^2 < mh < ht 因此， m^2 和 ht不可能是相连的约数。矛盾。(16) a或者x = m. 无解。m只能是n的第2个约数。矛盾。这样，若有解， a,x中m的幂次只能是3或者5 。（17）a = m^5.无解。若n = m^6x ， a = m^5. 1,m,m^2,m^3,m^4,m^5是n的小于或者等于x的6个约数。因此， x不能有小于m^5的因子。所以，若x为合数，则 x > (m^5)^2 = m^(10). 但由（5）, x < ma = m^6.矛盾。因此， x只能为质数。此时，由（5）, m^5 <= (m-1)m^5 < x < m^6. 设 x = km + r. 0 < r < m. m^4 <= k < m^5. x^2 + a^2 - amx - 1 = (mk+r)^2 + m^(10) - m^6(mk+r) - 1 = mk(mk+2r) + r^2 + m^(10) - m^6(mk+r) - 1 = 0, 因此， r^2 = 1 (mod m), 因m为质数，故有 r = 1 或者 r = m-1. 若r = 1. x = mk + 1. m^4 <= k < m^5. x^2 + a^2 - amx - 1 = (mk+1)^2 + m^(10) - m^6(mk+1) - 1 = mk(mk+2) + 1 + m^(10) - m^6(mk+1) - 1 = mk(mk+2) + m^(10) - m^6(mk+1) = 0. mk^2 + 2k + m^9 - m^5(mk+1) = 0. 只有， k = mk1, m^4 <= k < m^5, m^3 <= k1 < m^4. m^3(k1)^2 + 2mk1 + m^9 - m^5(m^2k1+1) = 0. m^2(k1)^2 + 2k1 + m^8 - m^4(m^2k1+1) = 0. 只有， k1 = m^2k2, m^3 <= k1 <= m^4, m <= k2 <= m^2. m^6(k2)^2 + 2m^2k2 + m^8 - m^4(m^4k2+1) = 0. m^4(k2)^2 + 2k2 + m^6 - m^2(m^4k2 + 1) = 0. 只有， k2 = m^2k3, 但m <= k2 < m^2. 矛盾。因此，只有 r = m - 1. x = mk + m-1. m^4 <= k < m^5. x^2 + a^2 - amx - 1 = (mk+m-1)^2 + m^(10) - m^6(mk+m-1) - 1 = m(k+1)[m(k+1) - 2] + 1 + m^(10) - m^6[m(k+1)-1] - 1 = m(k+1)[m(k+1) - 2] + m^(10) - m^6[m(k+1)-1] = m^2(k+1)^2 - 2m(k+1) + m^(10) - m^6[m(k+1) -1] = 0. m(k+1)^2 - 2(k+1) + m^9 - m^5[m(k+1) -1] = 0. (k+1) = mk1, m^4 + 1 <= k + 1 < m^5 + 1. m^3 < k1 <= m^4. m^3(k1)^2 - 2mk1 + m^9 - m^5[m^2k1 - 1] = 0. m^2(k1)^2 - 2k1 + m^8 - m^4[m^2k1 - 1] = 0. k1 = m^2k2, m^3 < k1 <= m^4. m < k2 <= m^2. m^6(k2)^2 - 2m^2k2 + m^8 - m^4[m^4k2 - 1] = 0. m^4(k2)^2 - 2k2 + m^6 - m^2[m^4k2 - 1] = 0. k2 = m^2k3, m < k2 <= m^2. k3 = 1. k2 = m^2. m^8 - 2m^2 + m^6 - m^2[m^6 - 1] = 0. m^6 - 2 + m^4 - m^6 + 1 = 0. m^4 - 1 = (m^2 + 1)(m^2 - 1) = 0.矛盾。因此， a = m^5.无解。（18）x = m^5. 只有 m = 2, a = 2^5 – 1 = 31, x = 2^5 = 32, n = 2^6*31 = 1984. 若n = m^6a ， x = m^5. 1,m,m^2,m^3,m^4,a,m^5是n的小于或者等于x的7个约数。因此， a只能为质数。此时，由（5）, a <= (m-1)a < m^5 < ma. 设 x = m^5 = (m-1)a + r. 0 < r < a. x^2 + a^2 - amx - 1 = [(m-1)a+r]^2 + a^2 - amx - 1 = [(m-1)a]^2 + 2r(m-1)a + r^2 + a^2 - amx - 1 = 0, 因此， r^2 = 1 (mod a), 因a为质数，故有 r = 1 或者 r = a-1. 若r = 1. x = (m-1)a + 1. x^2 + a^2 - amx - 1 = [(m-1)a+1]^2 + a^2 - max - 1 = (m-1)^2a^2 + 2a(m-1) + a^2 - max = 0. a(m-1)^2 + 2(m-1) + a – m[(m-1)a+1] = 0. [m^2 – 2m + 1]a – [m^2 – m ]a – m + a + 2m – 2 = 0, 2a – ma + m-2 = 0, (2-m)a + (m-2) = 0, (m-2)(1-a) = 0. m=2. 此时， 2^m = x = (m-1)a + 1, x = 2^5, 2^5 = a +1, a = 2^5 – 1 = 31. n = max = 2^6*31 = 1984. 若r = a-1. x = (m-1)a + a-1 = ma-1. x^2 + a^2 - amx - 1 = (ma-1)^2 + a^2 - max - 1 = m^2a^2 - 2am + a^2 - max = 0. am^2 + 2m + a – m(ma-1) = 0. am^2 + 2m + a – am^2 + m = 0, 3m + a = 0. 矛盾。（19）x = m^3. 无解。n = m^4a. a <= (m-1)a < m^3 < ma. 1 ， m, m^2,a,m^3是n的小于或者等于x的5个约数。要使得m^3是n的第7个约数。a必须有小于m^3的质因子。a = ht, m < h < m^3. h <= t. m^2 < mh < ht= a < x 1,m,m^2,h,mh,ht,m^3是n的小于x的7个约数。这样，若 h < t, 因 m < t < ht = a < x.则 t也是n的小于x的约数，矛盾。因此，只能 t = h. a = h^2. 此时， 1,m,m^2,h,mh,h^2,m^3是n的小于x的7个约数。a = h^2, x = m^3, n = m^4h^2. m < h h^2 < m^3/(m-1) = (m^3 – 1+1)/(m-1) = m^2 +m + 1 + 1/(m-1) <= m^2 + 2m + 1 = (m+1)^2. h < m+1 但h > m, 矛盾。因此， x = m^3. 无解。（20）a = m^3, 则 m = 2, a = 2^3 = 8, x = 3^2, n = m^4x = 144. a = m^3, n = m^4x. 1,m,m^2,m^3是n的小于x的4个约数。要使得m^3是n的第6个约数， x必须有小于m^3的质因子。设x = ht, m< h < m^3, h <= t. m^3 <= (m-1)m^3 < ht < m^4. mh. 则， t < m^3 。1 ， m,m^2, h,t,mh,mt ， m^3是n的小于x的7个约数.矛盾。因此，只能 h=t. 此时， 1,m,m^2,h,mh,m^3是n的小于x的6个约数。a =m^3, x = h^2, m^3 <= (m-1)m^3 < h^2 < m^4. m < h < m^2. h ＝km ＋r． 0 ＜r ＜m． 1<=k < m. (km+1)^4 + m^6 – m^4(km+1)^2 – 1 = (km)^4 + 4(km)^3 + 6(km)^2 + 4km + m^6 – m^4(km+1)^2 = 0, k^4m^3 + 4k^3m^2 + 6k^2m + 4k + m^5 – m^3(km+1)^2 = 0. k = 0 (mod m) 但， 1 <= k < m.矛盾。因此，只有r = m-1. 此时， h = km+m-1 = m(k+1) -1. 1 <= k < m. [m(k+1) -1]^4 + m^6 – m^4[m(k+1)-1]^2 – 1 = [m(k+1)]^4 – 4[m(k+1)]^3 + 6[m(k+1)]^2 – 4m(k+1) + m^6 – m^4[m(k+1)-1]^2 = 0, (k+1)^4m^3 – 4(k+1)^3m^2 + 6(k+1)^2m + 4(k+1) + m^5 – m^3[m(k+1)-1]^2 = 0. 只能， K = m-1. 此时， h = m(k+1) -1=m^2 -1. [m^2 - 1]^4 + m^6 –m^4[m^2-1]^2 – 1 = [m^2 – 1]^4 - m^4[m^2-1]^2 + [m^2-1][m^4 + m^2 +1] = 0, [m^2-1]^3 – m^4[m^2-1]+ m^4 + m^2 + 1 = m^6 – 3m^4 + 3m^2 – m^6 + m^4 + m^4 + m^2 = -m^4 + 4m^2 = 0, 4 – m^2 = 0, m = 2. a = 2^3, h = 2^2 – 1, x = h^2 = 3^2. n = m^4x = 144. (21)综合 1 ， d6,d7互质。2 ， n = m(d6)(d7). 3, 若z是md7的最小的质因子，则z = m. 4, d6,d7中必有m的倍数。5 ， d6,d7中m的倍数只能是m的幂 6 ，只有d7 = m^5或者d6 = m^3时，才可能有解。7 ， d7 = m^5时，只有m=2, d7 = 2^5 = 32, d6 = 2^5 – 1 = 31,n = 1984. 8, d6 =m^3时，只有m=2, d6 = 2^3 = 8, d7 = (2^2-1)^2 = 3^2 =9, n = 144. 9.只有上面2组解。〔完毕〕